Gram-Schmidt merupakan salah satu metode yang digunakan untuk membuat suatu vektor menjadi ortonormal. Ortonormal? Apa itu? Jika suatu vektor saling tegak lurus satu dengan yang lain, maka disebut ortogonal, jika mereka saling tegak lurus dan panjang resultannya adalah 1, maka vektor itu disebut ortonormal. Singkatnya begitu, semoga paham. Langsung kita lanjut saja, bagaimana mengaplikasikan metode Gram-Schmidt? Simak contoh soal berikut:
SOAL: Tentukan basis ortonormal dari vektor (1, 2, 2), (-1, 0, 2), dan (0, 0, 1)!
Pertama: Cek ortogonalitas atau ortonormalitas dari ketiga vektor tersebut. Kalau sudah ortogonal, artinya kita hanya perlu membuatnya ortonormal (membagi dengan panjang vektornya), kalau belum artinya harus dibuat ortogonal dulu, baru nanti ortonormal. Bagaimana cara mengeceknya? Lakukan perkalian dot, kalau hasilnya semua nol, maka ortogonal, kalau salah satunya ≠ 0, maka tidak ortogonal.
Kedua: Setelah diperoleh bahwa ketiga vektor tersebut tidak saling ortogonal, kita gunakan Gram-Schmidt untuk mencari basis ortogonalnya. Ketiga vektor di atas kita namai e1 , e2 , dan e3, sedangkan vektor basis ortogonal yang kita cari kita gunakan variabel v1 , v2 , dan v3. Acuan awal yang umumnya digunakan adalah e1 = v1 .
Kita masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam persamaan,
Berikut penghitungan untuk v3,
Ketiga: Cek ortonormalitas vektor hasil ortogonalisasi tersebut, kalau rezeki bisa saja yang kita dapat langsung merupakan vektor ortonormal. Caranya, kita hitung panjang vektor tersebut, kalau ketiga vektor tersebut panjangnya 1, maka bisa dibilang bahwa ketiga vektor tersebut ortonormal.
Terakhir: Untuk menjadikan vektor normal, kita bagi v1 , v2 , dan v3 dengan panjang vektornya masing-masing, kita sebut basis vektor yang telah dinormalisasi sebagai u1 , u2 , dan u3.
Maka basis ortonormal dari vektor (1, 2, 2), (-1, 0, 2), dan (0, 0, 1) adalah
KUDAPAN PAGI 